来尝试一下写科普文～ 希望这篇有关“二进制”的科普文章连初中生甚至小学生都能听懂。
1 什么是二进制
所谓的“二进制[1]”，就是一种仅用“1”和“0”的排列组合来表示具体数值的，一种记数方法。
例如“1001 1011”就是一个二进制数，它的每位都是非 1 即 0 的，不会出现 2 或者 3 这样的其它数字。但是仅通过 1 和 0 的组合是如何表示某个具体数值的？
2 二进制的数值例子
我们先从一个具体例子开始：
这是一个二进制数（图 1），那么它对应的数值是什么呢？它对应的数值是这样计算的：
首先我们把它的每位分开，然后分别乘上 1, 2, 4, 8, 16, ... 64, 128（图 2）：
最后将它们加起来，就得到了这个二进制数对应的数值（图 3）：
即，二进制数“1101 0110”所对应的数值是“214”。
现在你可以试着计算一下二进制数“1000 1000”所对应的数值！
3 我们生活中所采用的计数法
看完上面这段说明后，是不是还是感觉晕乎乎的？为什么要设计出这么反人类的计法？以及，它真的可以表示所有数值吗？
其实，二进制和我们生活中所采用的记数方法，阿拉伯数字系统是一样的。
比如，为什么我们会把“514￥”念作“五百一十四 块钱”，而不是“五一四 块钱”呢？
其实，念出“五百一十四”的时候，我们就已经进行了一遍，之前所演示的相乘并求和的过程（图 4）。
那么现再回过头去看下上面二进制的求值过程，是不是又觉得二进制变得亲切了起来呢？
其实二进制和我们平时所使用的记数法是一样的，只不过我们平常会使用十个不同的数字符号来表示数值：“0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”，并且每位需要分别乘上“1, 10, 100, 100...”[2]。
而在二进制的世界中只有“1”和“0”，并且每位分别乘上的是“1, 2, 4, 8, 16, ...”。
4 位权
这个每位分别乘上的固定数值，就是所谓的“位权（weight）”，即“每位的权重”。
前面说了，在我们平常生活所使用的记法中，每位的位权分别是“1, 10, 100, 1000”，一般的，从第 1 位开始，第
位的位权其实就是
。而对于二进制，第
位的位权则为
。
一般地，“
进制”第
位的位权就是：
例如三进制第
位的位权就是
。
所以，我们平时生活所使用的记法，也可以叫做“十进制”。
当然，计算机的专业人士会比较喜欢从“0”开始数（图 5），那么此时第
位的位权公式实际上应当是
（图 5）。
从 0 开始数的话，位权公式就变成了更简洁的“
”，也许他们才是对的呢～
从这里开始，下文中所有数都是从第 0 位开始数的，即第
位位权为
，而不是
。
4 位权与进位
那么“位权（weight）”的实际意义究竟是什么呢？其实它规定了进位的规则。
比如，十进制第
位的位权为
，具体地，从第 0 位开始，它的每位位权分别是“1, 10, 100, 1000...”。
我们小学就学过，十进制的加法是逢十进一的，个位满十，就向十位进一。这意思可不就是，1 个 十位的“1” 代表 10 个 个位的“1” 吗？
因此，十位的位权是“10”。然后，1 个百位的代表 10 个十位，因此百位的位权是“100”，以此类推。
那么二进制呢？从第 0 位开始，二进制每位位权分别是“1, 2, 4, 8”，或者说
。
在二进制中，1 个 第 2 位 代表 2 个 第 1 位，1 个 第 1 位 代表 2 个 第 0 位。所以，二进制是“逢二进一”的。
那么一般地，“
进制”就是“逢
进一”的。这也是为什么，它的名字叫做
“进”制。
5 小结
- 我们生活中所使用的记数系统也叫“十进制”，它是“逢十进一”的。
- “二进制”是“逢二进一”的。
- 从第 0 位开始数，“
进制”第 
位位权为“ 
”。 - “
进制”是“逢 
进一”的。 - 对于“
进制数”，将它的每位乘上对应的位权，再将它们全部加起来，就能得到这个数对应的数值
6 扩展
下面是一些扩展思考题：
- 二进制第
位小数的位权是多少？ - 从第 0 位开始数，
位 
进制正整数的最小值和最大值分别是多少？ - 对于所有的整数，都能分别找到唯一对应的二进制表示吗？
- 对于所有整数，都能分别找到唯一对应的
进制表示吗？
其实第 1 个问题超纲了，第 3、4 个问题相对而言也比较难。但是它们都非常值得思考。
